111,111,111 x 111,111,111 = 12,345,678,987,654,321

A história por trás da resposta

Verdadeiro. Escreva 111,111,111 como 10^0 + 10^1 + … + 10^8. Ao elevá-lo ao quadrado, somam-se produtos 10^i × 10^j = 10^{i+j}. Para cada expoente total k, o número de pares (i, j) com i + j = k forma a sequência triangular 1,2,3,4,5,6,7,8,9,8,7,6,5,4,3,2,1. O maior coeficiente é 9, portanto não há transporte (vai‑um), e os dígitos aparecem exatamente como 12,345,678,987,654,321.

Números formados apenas pelo algarismo 1 são chamados de repunits. Em base 10, o quadrado de um repunit com n dígitos (com n ≤ 9) sempre resulta no palíndromo 123…n…321. Mnemônica: «Uns ao quadrado formam uma pirâmide de dígitos — sobe até n e depois desce.»