111,111,111 x 111,111,111 = 12,345,678,987,654,321

Pour comprendre la réponse

Vrai. Écris 111,111,111 comme 10^0 + 10^1 + … + 10^8. En le mettant au carré, on additionne des produits 10^i × 10^j = 10^{i+j}. Pour chaque exposant total k, le nombre de paires (i, j) avec i + j = k forme la séquence triangulaire 1,2,3,4,5,6,7,8,9,8,7,6,5,4,3,2,1. Le plus grand coefficient est 9, donc il n’y a pas de retenues, et les chiffres apparaissent exactement comme 12,345,678,987,654,321.

Les nombres composés uniquement de 1 s’appellent des répunits. En base 10, le carré d’un repunit de n chiffres (avec n ≤ 9) donne toujours le palindrome 123…n…321. Mnémotechnique : « Les 1 au carré bâtissent une pyramide de chiffres — on monte jusqu’à n, puis on redescend. »