L'insieme di tutti i numeri algebrici è numerabile.

La storia dietro la risposta

Vero. Un numero algebrico è un qualsiasi numero complesso che è soluzione (radice) di un polinomio non nullo a coefficienti interi. Esistono solo numerabilmente molti tali polinomi (per ogni grado, l'elenco delle n-uple di coefficienti interi è numerabile; un'unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile). Ogni polinomio ha un numero finito di radici, quindi l'insieme di tutti i numeri algebrici — essendo un'unione numerabile di insiemi finiti — è numerabile. Ciò contrasta nettamente con i numeri reali, che sono non numerabili; dunque “la maggior parte” dei reali è trascendente (non algebrica), come π ed e. Liouville dimostrò per primo l'esistenza di numeri trascendenti nel XIX secolo. Trucco mnemonico: «Conta le equazioni, conta le radici»: potendo elencare tutti i polinomi a coefficienti interi, si possono in linea di principio elencare tutte le loro radici.