Die Menge aller algebraischen Zahlen ist abzählbar.

Der Hintergrund zur Antwort

Wahr. Eine algebraische Zahl ist jede komplexe Zahl, die Nullstelle eines von Null verschiedenen Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Es gibt nur abzählbar viele solcher Polynome (für jeden Grad ist die Menge der ganzzahligen Koeffizienten-Tupel abzählbar; eine abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ist abzählbar). Jedes Polynom hat nur endlich viele Nullstellen, also ist die Menge aller algebraischen Zahlen — als abzählbare Vereinigung endlicher Mengen — abzählbar. Das steht im starken Gegensatz zu den reellen Zahlen, die überabzählbar sind; daher sind „die meisten“ reellen Zahlen transzendent (nicht algebraisch), etwa π und e. Liouville bewies im 19. Jahrhundert erstmals die Existenz transzendenter Zahlen. Eselsbrücke: „Gleichungen zählen, Wurzeln zählen“ — da man alle ganzzahligen Polynome aufzählen kann, kann man prinzipiell auch all ihre Nullstellen auflisten.