Un ensemble universel, c'est-à-dire un ensemble qui contient tous les ensembles, existe.

Faux. En théorie des ensembles standard (ZF/ZFC), un ensemble universel mène à des contradictions. Le paradoxe de Russell considère R = {x | x ∉ x} ; se demander si R ∈ R mène à une impossibilité. Le théorème de Cantor montre aussi que l'ensemble des parties P(U) est strictement plus grand que U ; mais si U contenait tous les ensembles, il devrait contenir P(U), ce qui est contradictoire. Pour éviter ces paradoxes, les mathématiciens distinguent les ensembles des classes.